如图,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC=.动点P从A点出发,沿AB方向以每秒5个单位长度的速度...
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如图,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC=.动点P从A点出发,沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动,动点Q从C点同时出发,以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动,当点P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动,以PQ为边作正△PQM(P、Q、M按逆时针排序),以QC为边在AC上方作正△QCN,设点P运动时间为t秒.
(1)求cosA的值;
(2)当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=S△QCN时,求t的值;
(3)当t为何值时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
【回答】
解:(1)如图1中,作BE⊥AC于E.
∵S△ABC=•AC•BE=,∴BE=.在Rt△ABE中,AE==6,∴coaA===.
(2)如图2中,作PH⊥AC于H.
∵PA=5t,PH=3t,AH=4t,HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t,∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+(9﹣9t)2.
∵S△PQM=S△QCN,∴ •PQ2=וCQ2,∴9t2+(9﹣9t)2=×(5t)2,整理得:5t2﹣18t+9=0,解得t=3(舍弃)或,∴当t=时,满足S△PQM=S△QCN.
(3)①如图3中,当点M落在QN上时,作PH⊥AC于H.
易知:PM∥AC,∴∠MPQ=∠PQH=60°,∴PH=HQ,∴3t=(9﹣9t),∴t=.
②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.
同法可得PH=QH,∴3t=(9t﹣9),∴t=.
综上所述:当t=s或s时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
知识点:各地中考
题型:综合题
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