如图,二次函数y=x2-2mx+8m的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边且OA≠OB),交y轴于点C,...
问题详情:
如图,二次函数y=x2-2mx+8m的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边且OA≠OB),交y轴于点C,且经过点(m,9m),⊙E过A、B、C三点。
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)求点E的坐标;
(3)过抛物线上一点P(点P不与B、C重合)作PQ⊥x轴于点Q,是否存在这样的点P使△PBQ和△BOC相似?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,说明理由
【回答】
(1)y=x2+2x-8(2)(-1,-)(3)(-8,40),(-,-),(-,-)
【解析】
分析:(1)把代入解析式,得:,解这个方程可求出m的值;
(2)分别令y=0和x=0,求出OA,OB,OC及AB的长,过点作轴于点,轴于点,连接,AE,设OF=GE=a,根据 ,列方过程求出a的值,从而求出点E的坐标;
(3)设点P(a, a2+2a-8), 则,然后分∽时和∽时两种情况,列比例式求出a的值,从而求出点P的坐标.
详解:(1)把代入解析式,得:
解得:(舍去)
∴
(2)由(1)可得:,当时,;
∵点A在点B的左边 ∴ ,
∴,
当时,,
∴
过点作轴于点,轴于点,连接,,
则 ,
设,则,
在中,,
在中,
,
∵ ,
∴ ,
解得: ,
∴ ;
(3)设点,
则,
a.当∽时,
,即,
解得:(舍去);
(舍去); ,
∴ ;
b.当∽时,
,即,
解得:(舍去),; ,
∴; ;
综上所述,点的坐标为:,,
点睛:本题考查了二次函数的图像与*质,二次函数与坐标轴的交点,垂径定理,勾股定理,相似三角形的*质和分类讨论的数学思想,熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的*质是解答本题的关键.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:解答题
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