如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD...

问题详情：

如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（1）求b、c的值；

（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

【回答】

【解答】解：

（1）∵CD∥x轴，CD=2，

∴抛物线对称轴为x=1．

∴．

∵OB=OC，C（0，c），

∴B点的坐标为（﹣c，0），

∴0=c2+2c+c，解得c=﹣3或c=0（舍去），

∴c=﹣3；

（2）设点F的坐标为（0，m）．

∵对称轴为直线x=1，

∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．

由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴E（1，﹣4），

∵直线BE经过点B（3，0），E（1，﹣4），

∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6．

∵点F在BE上，

∴m=2×2﹣6=﹣2，即点F的坐标为（0，﹣2）；

（3）存在点Q满足题意．

设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3．

作QR⊥PN，垂足为R，

∵S△PQN=S△APM，

∴，

∴QR=1．

①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n2﹣4n），R点的坐标为（n，n2﹣4n），N点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）．

∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2，

∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为；

②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2﹣4）．

同理，NQ2=1+（2n﹣1）2，

∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为．

综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为或．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题