两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB=25，CD=17．保持纸片AO...

问题详情：

两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB=25，CD=17．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°<α<90°）角度，如图2所示．

（1）利用图2*AC=BD且AC⊥BD；

（2）当BD与CD在同一直线上（如图3）时，求AC的长和α的正弦值．

【回答】

（1）*：如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E．

∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠DOB，

在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，

∵∠DBO+∠GOB=90°，∵∠OGB=∠AGE，∴∠CAO+∠AGE=90°，∴∠AEG=90°，∴BD⊥AC．

（2）解：如图3中，设AC=x，∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，

∴AC2+BC2=AB2，∴x2+（x+17）2=252，解得x=7，

∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°,∠ABC+∠DBO=45°,∴∠α=∠ABC，

∴sinα=sin∠ABC==．

知识点：勾股定理

题型：解答题