如图,直线CD与EF相交于点O,∠COE=60°,将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合,OA平分∠COE.(...
问题详情:
如图,直线CD与EF相交于点O,∠COE=60°,将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合,OA平分∠COE.
(1)求∠BOD的度数;
(2)将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转,同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转,设运动时间为t秒(0≤t≤40).
①当t为何值时,直线EF平分∠AOB;
②若直线EF平分∠BOD,直接写出t的值.
【回答】
(1)∠BOD=60°;(2)当t=2.5s或32.5s时,直线EF平分∠AOB;②t的值为12s或36s.
【解析】
【分析】
(1)依据∠COE=60°,OA平分∠COE,可得∠AOC=30°,再根据∠AOB=90°,即可得到∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°;
(2)①分两种情况进行讨论:当OE平分∠AOB时,∠AOE=45°;当OF平分∠AOB时,AOF=45°;分别依据角的和差关系进行计算即可得到t的值;
②分两种情况进行讨论:当OE平分∠BOD时,∠BOE=∠BOD;当OF平分∠BOD时,∠DOF=∠BOD;分别依据角的和差关系进行计算即可得出t的值.
【详解】
解:(1)∵∠COE=60°,OA平分∠COE,
∴∠AOC=30°,
又∵∠AOB=90°,
∴∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°;
(2)①分两种情况:
当OE平分∠AOB时,∠AOE=45°,
即9t+30°﹣3t=45°,
解得t=2.5;
当OF平分∠AOB时,AOF=45°,
即9t﹣150°﹣3t=45°,
解得t=32.5;
综上所述,当t=2.5s或32.5s时,直线EF平分∠AOB;
②t的值为12s或36s.
分两种情况:
当OE平分∠BOD时,∠BOE=∠BOD,
即9t﹣60°﹣3t=(60°﹣3t),
解得t=12;
当OF平分∠BOD时,∠DOF=∠BOD,
即3t﹣(9t﹣240°)=(3t﹣60°),
解得t=36;
综上所述,若直线EF平分∠BOD,t的值为12s或36s.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义,旋转的速度,角度,时间的关系,应用方程的思想是解决问题的关键,还需要通过计算进行初步估计位置,掌握分类思想,注意不能漏解.
知识点:实际问题与一元一次方程
题型:解答题
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