如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积...

问题详情：

如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．

（1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值；

（2）求*：AE平分∠DAF；

（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．

【回答】

（1）平行四边形ABCD的面积为60；（2）*见解析；（3）△AEF的外接圆的周长t=π．

【解析】（1）作EG⊥AB于点G，由S△ABE=×AB×EG=30得AB•EG=60，即可得出*；

（2）延长AE交BC延长线于点H，先*△ADE≌△HCE得AD=HC、AE=HE及AD+FC=HC+FC，结合AF=AD+FC得∠FAE=∠CHE，根据∠DAE=∠CHE即可得*；

（3）先*∠ABF=90°，根据勾股定理可得出AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，据此求得FC的长，从而得出AF的长度，再由AE=HE、AF=FH知FE⊥AH，即AF是△AEF的外接圆直径，从而得出*．

【详解】（1）如图，作EG⊥AB于点G，

则S△ABE=×AB×EG=30，则AB•EG=60，

∴平行四边形ABCD的面积为60；

（2）如图，延长AE交BC延长线于点H，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE，

∵E为CD的中点，

∴CE=ED，

∴△ADE≌△HCE，

∴AD=HC、AE=HE，

∴AD+FC=HC+FC，

由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH，

∴∠FAE=∠CHE，

又∵∠DAE=∠CHE，

∴∠DAE=∠FAE，

∴AE平分∠DAF；

（3）连接EF，

∵AE=BE、AE=HE，

∴AE=BE=HE，

∴∠BAE=∠ABE，∠HBE=∠BHE，

∵∠DAE=∠CHE，

∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE，即∠DAB=∠CBA，

由四边形ABCD是平行四边形得∠DAB+∠CBA=180°，

∴∠CBA=90°，

∴AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，

解得：FC=，

∴AF=FC+CH=，

∵AE=HE、AF=FH，

∴FE⊥AH，

∴AF是△AEF的外接圆直径，

∴△AEF的外接圆的周长t=π．

【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及到平行四边形的*质、矩形的判定与*质、全等三角形的判定与*质、等腰三角形的*质、勾股定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关的*质与定理是解题的关键.

知识点：平行四边形

题型：解答题