已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.(Ⅰ)*:直线的斜率与的斜率的乘积为定...
问题详情:
已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.
(Ⅰ)*:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;
(Ⅱ)若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.
【回答】
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)能,或.
【解析】(1)设直线,直线方程与椭圆方程联立,根据韦达定理求根与系数的关系,并表示直线的斜率,再表示;
(2)第一步由 (Ⅰ)得的方程为.设点的横坐标为,直线与椭圆方程联立求点的坐标,第二步再整理点M的坐标,如果能构成平行四边形,只需,如果有k值,并且满足,的条件就说明存在,否则不存在.
试题解析:解:(1)设直线,,,.
∴由得,
即直线斜率与的斜率的乘积为定值.
(2)四边形能为平行四边形.
∵直线过点,∴不过原点且与有两个交点的充要条件是,
由 (Ⅰ)得的方程为.设点的横坐标为.
∴由得,即
将点的坐标代入直线的方程得,因此.
四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分,
∴.解得,.
,,,
∴当的斜率为或时,四边形为平行四边形.
考点:直线与椭圆的位置关系的综合应用
【一题多解】第一问涉及中点弦,当直线与圆锥曲线相交时,点M是弦的中点,(1)知道中点坐标,求直线的斜率,或知道直线斜率求中点坐标的关系,或知道求直线斜率与直线斜率的关系时,也可以选择点差法,设,代入椭圆方程,两式相减,化简为,两边同时除以得,即得到结果,
(2)对于用坐标法来解决几何*质问题,那么就要求首先看出几何关系满足什么条件,其次用坐标表示这些几何关系,本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分,即,分别用方程联立求两个坐标,最后求斜率.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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