黄金分割天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割,并指出毕达哥拉斯定理(勾股定理)和黄金分割是几何中的双宝,前者好...

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黄金分割

天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割,并指出毕达哥拉斯定理(勾股定理)和黄金分割是几何中的双宝,前者好比黄金,后者堪称珠宝,历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆,19世纪以后“黄金分割”的说法逐渐流行起来,黄金分割被广泛应用于建筑等领域.黄金分割指把一条线段分为两部分,使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比,该比值为.用下面的方法(如图①)就可以作出已知线段AB的黄金分割点H:

①以线段AB为边作正方形ABCD,

②取AD的中点E,连接EB,

③延长DA到F,使EF = EB,

④以线段AF为边作正方形AFGH,点H就是线段AB的黄金分割点.

以下是*点H就是线段AB的黄金分割点的部分过程:

*:设正方形ABCD的边长为1 ,则AB=AD=1 ,

任务:

(1)补全题中的*过程;

(2)如图②,点C为线段AB的黄金分割点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD,连接BD、BE.求*: EAB ~BCD;

(3)如图③,在正五边形ABCDE中,对角线AD、AC与EB分别交于点M、N.求*:点M是AD的黄金分割点

【回答】

(1)解：补全*过程如下：

∵四边形AFGH为正方形，

∴AH＝AF＝，

∴＝＝，(1分)

∴点H是线段AB 的黄金分割点；(2分)

(2)*：∵四边形ACDE为正方形，四边形CBFD为矩形，

∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，(3分)

又∵点C为线段AB的黄金分割点，

∴＝，……(4分)

∴＝，

∴△EAB∽△BCD；……(5分)

(3)*：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴AB＝AE＝DE，∠BAE＝∠AED＝108°，

∴∠ABE＝∠AEB＝∠ADE＝36°，

∴∠DEM＝∠AED－∠AEB＝108°－36°＝72°，

∴∠DME＝180°－36°－72°＝72°，

∴DM＝DE＝AE，……(7分)

∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，

∴△AME∽△AED，

∴＝，……(8分)

∵AE＝DE＝DM，

∴＝，

∴点M是AD的黄金分割点．……(9分)

知识点：勾股定理

题型：解答题