如图1,我们已经学过:点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某校的数学拓展*课程班...
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如图1,我们已经学过:点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某校的数学拓展*课程班,在进行知识拓展时,张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线.
如图2,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠C的平分线交AB于点D.
(1)*点D是AB边上的黄金分割点;
(2)*直线CD是△ABC的黄金分割线.
【回答】
(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
【分析】
(1)*AD=CD=BC,*△BCD∽△BCA,得到.则有,所以点D是AB边上的黄金分割点;
(2)*,直线CD是△ABC的黄金分割线;
【详解】
解:(1)点D是AB边上的黄金分割点.理由如下:
AB=AC,∠A=,∠B=∠ACB=.
CD是角平分线, ∠ACD=∠BCD=,
∠A=∠ACD,AD=CD.
∠CDB=180-∠B-∠BCD=,
∠CDB=∠B,BC=CD.
BC=AD.
在△BCD与△BCA中, ∠B=∠B,∠BCD=∠A=,
△BCD∽△BCA,
点D是AB边上的黄金分割点.
(2)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:
设ABC中,AB边上的高为h,则
,,,
由(1)得点D是AB边上的黄金分割点,
,
直线CD是△ABC的黄金分割线
【点睛】
本题主要考查三角想相似及相似的*质,注意与题中黄金分割线定义相结合解题.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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