如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,O是AD的中点,以O为圆心在AD的下方作半径为3的半圆O,交AD于...
问题详情:
如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,O是AD的中点,以O为圆心在AD的下方作半径为3的半圆O,交AD于E、F.
思考:连接BD,交半圆O于G、H,求GH的长;
探究:将线段AF连带半圆O绕点A顺时针旋转,得到半圆O′,设其直径为E'F′,旋转角为α(0<α<180°).
(1)设F′到AD的距离为m,当m>时,求α的取值范围;
(2)若半圆O′与线段AB、BC相切时,设切点为R,求的长.
(sin49°=,cos41°=,tan37°=,结果保留π)
【回答】
思考:GH= ;探究:(1)α的取值范围为30°<α<150°;(2)或.
【解析】
思考:作ON⊥BD,*△ADB∽△NDO得,据此求得ON=,再根据勾股定理求得NH的长,继而由GH=2NH可得*;
探究:(1)过F′作F′Q⊥AD于Q,分垂足Q落在线段AD上和线段DA延长线上两种情况,利用Rt△AQF′中,sin∠QAF′=求得∠QAF′的度数即可得出∠α的范围;
(2)分半圆O′与AB相切和与BC相切两种情况求解,求出所对圆心角度数即可得出*.
【详解】
思考:如图1,过O作ON⊥BD于N,
∴HN=GN,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=8,∠BAD=90°,
又∵AB=6,
∴BD=10,
∵∠BAD=∠OND=90°,∠ADB=∠NDO,
∴△ADB∽△NDO,
∴,
∴ON=,
连接OH,
∵OH=3,
∴HN=,
∴GH=2HN=;
探究:(1)如图2,过F′作F′Q⊥AD于Q,
当F′到AD的距离为时,有F′Q=,
此时,
所以α=30°,
如图3,当Q落在DA延长线时,
可求得α=150°,
所以当m>时,α的取值范围为30°<α<150°;
(2)如图4,当半圆O′与AB相切,切点为R,连接O′R,
∴∠O′RA=90°,
∵,
∴∠O′AR=49°,
∴∠F′O′R=90°+49°=139°,
∴的长=;
如图5,当半圆O′与BC相切,切点为R,过点O′作O′P⊥AB于P,连接O′R,
∴∠O′RB=90°,
易得四边形PBRO′是矩形,
∴O′R=BP=3,
∴AP=3,
∴,
∴∠PO'A=49°,
∴∠RO'F'=41°,
∴的长=,
综上,的长为或.
【点睛】
本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是掌握垂径定理、相似三角形的判定与*质、矩形的判定与*质及切线的*质等知识点.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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