用长为18m的钢条围成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的长与宽之比为2∶1,那么高为多少时容器的体积最大?...

问题详情：

用长为18m的钢条围成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的长与宽之比为2∶1,那么高为多少时容器的体积最大?并求出它的最大体积.

【回答】

【解析】设长方体的宽为xm,则长为2xm,高为(4.5-3x)m.

由解得0<x<,

故长方体的体积为

V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3,从而V′(x)=18x-18x2=18x(1-x),

令V′(x)=0,解得x=1或x=0(舍去),

当0<x<1时,V′(x)>0;

当1<x<时,V′(x)<0,

故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值,

从而最大体积为V(1)=9×12-6×13=3(m3),

此时容器的高为4.5-3=1.5(m).

因此,容器高为1.5m时容器的体积最大,最大体积为3m3.

知识点：导数及其应用

题型：解答题