已知常数,数列的前n项和为Sn,,. (1)求数列的通项公式; (2)若,且数列是单调递增数列,求实数a的...
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已知常数,数列的前n项和为Sn,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,且数列是单调递增数列,求实数a的取值范围;
(3)若,,对于任意给定的正整数k,是否都存在正整数p、q,使得
?若存在,试求出p、q的一组值(不论有多少组,只要求出一组即可);若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)∵,∴nan=Sn+an(n-1),∴(n-1)an-1=Sn-1+a(n-1)(n-2)
相减得nan-(n-1)an-1=an+2a(n-1),即(n-1)an-(n-1)an-1=2a(n-1),其中n≥2
∴an-an-1=2a为定值
∴是以2为首项2a为公差的等差数列,∴an=2+(n-1)2a=2a(n-1)+2…………4分
方法二:∵,∴Sn-Sn-1=+a(n-1)
∴ -Sn-1=a(n-1),其中n≥2
∴-=a为定值,∴{}是以2为首项a为公差的等差数列
∴=2+(n-1)a,∴an=+a(n-1)=2a(n-1)+2……………………4分
(2)由是单调递增数列,得bn<bn+1,即3n+(-1)n[2a(n-1)+2]<3n+1+(-1)n+1(2an+2)
即(-1)na<………………………5分
1°若为正奇数,则-a<在n为正奇数时恒成立
设f(n)=,则f(n)-f(n+2)=-=-<0
∴f(1)<f(3)<f(5)<……
∴-a<f(1)=5即a>-5………………………6分
方法二:则f(n)-f(n+1)=-=-
它在n=1时为正,在n≥2为负,∴f(1)>f(2)<f(3)<f(4)<f(5)<…
∴-a<min{f(1),f(3)}=min{5,}=5即a>-5…………6分
2°若n为正偶数,则a<在n为正偶数时恒成立,设g(n)=
则g(n+2)-g(n)= -=>0,∴g(2)<g(4)<g(6)<…
∴
方法二:则g(n+1)-g(n)= -=>0
∴g(1)<g(2)<g(3)<g(4)<…,∴a<g(2)=
综合1°2°及a≠0得-5<a<且a≠0……………8分
(3)由(1)得,
∴可化为
方法一:即p===…………………………10分
令得
(或令得,或交换前两组p,q的值,能够确定的有四组)
∴存在满足要求的p,q,且有一组值为…………………12分
方法二:即pq-kp-kq=2019k即(p-k)(q-k)=k(k+2019)=1×(k2+2019k)=k×(k+2019)
令即
(或令即,或交换前两组p,q的值,共能确定四组)
∴存在满足要求的p,q,且有一组值为
知识点:数列
题型:解答题
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