椭圆E的中心在原点O,焦点在轴上,其离心率,过点C(-1,0)的直线与椭圆E相交于A、B两点,且满足点C分向量...
问题详情:
椭圆E的中心在原点O,焦点在轴上,其离心率, 过点C(-1,0)的直线与椭圆E相交于A、B两点,且满足点C分向量的比为2.
(1)用直线的斜率k( k≠0 ) 表示△OAB的面积;(2)当△OAB的面积最大时,求椭圆E的方程。
【回答】
解:(1)设椭圆E的方程为( a>b>0 ),由e =
∴a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C(-1,0)分向量的比为2,
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由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2=0
由直线l与椭圆E相交于A(x1,y1), B(x2,y2)两点得:
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而S△OAB ⑤
由①③得:x2+1=-,代入⑤得:S△OAB =
(2)因S△OAB=,
当且仅当S△OAB取得最大值
此时 x1 + x2 =-1, 又∵ =-1 ∴x1=1,x2 =-2
将x1,x2及k2 = 代入④得3b2 = 5 ∴椭圆方程x2 + 3y2 = 5
知识点:高考试题
题型:综合题
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