如图所示,两个非共线向量,的夹角为θ,M、N分别为OA与OB的中点,点C在直线MN上,且=x+y(x,y∈R)...
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如图所示,两个非共线向量,的夹角为θ,M、N分别为OA与OB的中点,点C在直线MN上,且=x+y(x,y∈R),则x2+y2的最小值为( )
A. B. C. D.
【回答】
B【考点】点到直线的距离公式;平面向量坐标表示的应用.
【分析】法一:特殊值法,当θ=90°,||=||=1时,建立直角坐标系,得x+y=,所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方;
解法二:因为点C、M、N共线,所以,有λ+μ=1,由M、N分别为OA与OB的中点,可得x+y=,下同法一
【解答】解法一:特殊值法,当θ=90°,||=||=1时,建立直角坐标系,
∴=x+y
得x+y=,所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方;
解法二:因为点C、M、N共线,所以,有λ+μ=1,
又因为M、N分别为OA与OB的中点,
所以=
∴x+y=
原题转化为:当x时,求x2+y2的最小值问题,
∵y=
∴x2+y2==
结合二次函数的*质可知,当x=时,取得最小值为
故选B
【点评】本题主要考查了平面向量的应用,解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点C、M、N共线,所以,有λ+μ=1“的应用
知识点:平面向量
题型:选择题
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