已知函数.(1)当时,判断的单调*,并求在上的最值;(2),,求a的取值范围.
问题详情:
已知函数.
(1)当时,判断的单调*,并求在上的最值;
(2),,求a的取值范围.
【回答】
(1)增函数,最大值为,最小值为;(2).
【分析】
(1)利用导数*在上为增函数,即得函数在上的最值;
(2)转化为,令,再利用导数*,转化为,记,,利用导数求出,即得解.
【详解】
(1)当时,,定义域为.
.
设,则,
令,得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
则.
所以在上为增函数.
故在上的最大值为,最小值为.
(2)不等式可转化为.
令,则.
当时,.在上单调递减;
当时,.在上单调递增.
所以,于是,
记,,
则,
因为在上恒成立,
所以在上单调递减,在上单调递增.
所以,从而.
故的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的单调*和最值,考查利用导数研究不等式的存在*问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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