设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)...
问题详情:
设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值h(t);
(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
【回答】
解 (1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1 (x∈R,t>0),
∴当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,
即h(t)=-t3+t-1.
(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g′(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1(不合题意,舍去).
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表:
t | (0,1) | 1 | (1,2) |
g′(t) | + | 0 | - |
g(t) | 单调递增 | 1-m | 单调递减 |
∴对t∈(0,2),当t=1时,g(t)max=1-m,
∵h(t)<-2t-m对t∈(0,2)恒成立,
也就是g(t)<0,对t∈(0,2)恒成立,
∴只需g(t)max=1-m<0,∴m>1.
故实数m的取值范围是(1,+∞)
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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