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如图,函数(k为常数,k>0)的图象与过原点的O的直线相交于A,B两点,点M是第一象限内双曲线上的动点(点M在点A的左侧),直线AM分别交x轴,y轴于C,D两点,连接BM分别交x轴,y轴于点E,F.现有以下四个结论:①△ODM与△OCA的面积相等;②若BM⊥AM于点M,则∠MBA=30°;③若M点的横坐标为1,△OAM为等边三角形,则;④若,则MD=2MA.其中正确的结论的序号是_______.
【回答】
①③④
【解析】
①设点A(m,),M(n,),构建一次函数求出C,D坐标,利用三角形的面积公式计算即可判断.
②△OMA不一定是等边三角形,故结论不一定成立.
③设M(1,k),由△OAM为等边三角形,推出OA=OM=AM,可得1+k2=m2+,推出m=k,根据OM=AM,构建方程求出k即可判断.
④如图,作MK∥OD交OA于K.利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.
【详解】
①设点A(m,),M(n,),
则直线AC的解析式为y=-x++,
∴C(m+n,0),D(0,),
∴,
∴△ODM与△OCA的面积相等,故①正确;
∵反比例函数与正比例函数关于原点对称,
∴O是AB的中点,
∵BM⊥AM,
∴OM=OA,
∴k=mn,
∴A(m,n),M(n,m),
∴,
∴AM不一定等于OM,
∴∠BAM不一定是60°,
∴∠MBA不一定是30°.故②错误,
∵M点的横坐标为1,
∴可以假设M(1,k),
∵△OAM为等边三角形,
∴OA=OM=AM,
1+k2=m2+,
∵m>0,k>0,
∴m=k,
∵OM=AM,
∴(1-m)2+(k−)2=1+k2,
∴k2-4k+1=0,
∴k=2±,
∵m>1,
∴k=2+,故③正确,
如图,作MK∥OD交OA于K.
∵OF∥MK,
∴,
∴,
∵OA=OB,
∴,
∴,
∵KM∥OD,
∴,
∴DM=2AM,故④正确.
故*为①③④.
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,三角形的面积,平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,学会构造平行线,利用平行线分线段成比例定理解决问题
知识点:反比例函数单元测试
题型:填空题
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