某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3(单位:万元),成...
问题详情:
某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3(单位:万元),成本函数为C(x)=460x+5(单位:万元),又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x).(提示:利润=产值-成本)
(2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?
(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?
【回答】
解:(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5(x∈N*且1≤x≤20);
MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275(x∈N*且1≤x≤19).
(2)P′(x)=-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),
∵x>0,
∴P′(x)=0时,x=12,
∴当0<x<12时,P′(x)>0,
当x>12时,P′(x)<0,
∴x=12时,P(x)有最大值.
即年造船量安排12艘时,可使公司造船的年利润最大.
(3)MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305.
所以,当x≥1时,MP(x)是减函数,
所以单调减区间为[1,19],且x∈N*.
MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加,每艘船的利润与前一艘船的利润比较,利润在减少.
知识点:函数的应用
题型:解答题
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