函数f（x）＝alnx2x（a∈R）．（1）当a＝3时，求f（x）的极值；（2）当a＝1时，*：f（x）2x...

问题详情：

函数f（x）＝alnx2x（a∈R）．

（1）当a＝3时，求f（x）的极值；

（2）当a＝1时，*：f（x）2x．

【回答】

（1）当a＝3时，，则，

当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减；

当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减．

∴，f（x）极大值＝f（1）＝﹣1；

（2）*：当a＝1时，，

∴不等式f（x）2x可变形为，

要*上述不等式成立，即*，

设，则g′（x）＝lnx+1，令g′（x）＝0，得，

在上，g′（x）＜0，g（x）是减函数，在上，g（x）是增函数，

∴；

又，令h′（x）＝0，得x＝1，

在（0，1）上，h′（x）＞0，h（x）是增函数，在（1，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）是减函数，

∴，

∴h（x）＜g（x），即，所以，

由此可得f（x）2x．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题