已知函数f(x)的定义域是R,对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当时,f(x)>0.(...
问题详情:
已知函数f(x)的定义域是R,对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当时,f(x)>0.
(Ⅰ)*:f(x)在R上是增函数;
(Ⅱ)判断f(x)的奇偶*,并*;
(Ⅲ)若f(-1)=-2,求不等式f(a2+a-4)<4的解集.
【回答】
解:(Ⅰ)*:设x1<x2,则x2-x1>0,
∵当x>0时,f(x)>0,∴f(x2-x1)>0,
∵f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在R上是增函数. …………4分
(Ⅱ)解:在条件中,令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),
再令x=y=0,则f(0)=2f(0),∴f(0)=0,故f(-x)=-f(x),
即f(x)为奇函数. …………8分
(Ⅲ)解:∵f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)=2,∴f(2)=f(1)+f(1)=4,
∴不等式可化为f(a2+a-4)<f(2),
又∵f(x)为R上的增函数,
∴a2+a-4<2,即a∈(-3,2). …………12分
知识点:*与函数的概念
题型:解答题
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