设函数f(x)的定义域为(-3,3),满足f(-x)=-f(x),且对任意x,y,都有f(x)-f(y)=f(...
问题详情:
设函数f(x)的定义域为(-3,3),满足f(-x)=-f(x),且对任意x,y,都有f(x)-f(y)=f(x-y),当x<0时, f(x)>0,f(1)=-2.
(1)求f(2)的值;
(2)判断f(x)的单调*,并*;
(3)若函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x),求不等式g(x)≤0的解集.
【回答】
(1) 在f(x)-f(y)=f(x-y)中,令x=2,y=1,代入得:
f(2)-f(1)=f(1),所以f(2)=2f(1)=-4. ……………3分
(2) f(x)在(-3,3)上单调递减.*如下:
设-3<x1<x2<3,则x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(-3,3)上单调递减. ……………………7分
(3) 由g(x)≤0得f(x-1)+f(3-2x)≤0,
所以f(x-1)≤-f(3-2x).
又f(x)满足f(-x)=-f(x),
所以f(x-1)≤f(2x-3), ………………………9分
又f(x)在(-3,3)上单调递减,所以 -3<2x-3≤ x-1<3 ,即
解得0<x≤2,
故不等式g(x)≤0的解集是(0,2].
知识点:*与函数的概念
题型:解答题
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