求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点；（2）经过点，且与双曲线有共同...

问题详情：

求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1）一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点；

（2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线．

【回答】

（1）；（2）．

【解析】

（1）由题意设出双曲线的标准方程，根据渐近线方程和间的关系求出后可得所求方程；或根据渐近线方程设双曲线方程为，然后由题意求出后得到所求．（2）根据题意设双曲线的方程为，代入点的坐标求出后可得所求方程．

【详解】

（1）方法1：椭圆方程可化为，焦点坐标为，

故可设双曲线的方程为，其渐近线方程为，

则，

又，

所以可得，，

所以所求双曲线的标准方程为．

方法2：由于双曲线的一条渐近线方程为，则另一条渐近线方程为．

故可设双曲线的方程为，即，

因为双曲线与椭圆共焦点，

所以，

即，

解得，

所以所求双曲线的标准方程为．

（2）由题意可设所求双曲线方程为，

因为点在双曲线上，

∴，解得，

所以所求双曲线的标准方程为．

【点睛】

求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题