双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线为C的一条渐近线. (1)求双曲线C的方程; (2)过点P(0,4)的直线...
问题详情:
双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线为C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P(0,4)的直线l交双曲线C于A、B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合),当时,求Q点的坐标.
【回答】
解:(1)设双曲线方程为
由椭圆,求得两焦点为(-2,0),(2,0)
∴对于双曲线C:c=2,又为双曲线C的一条渐近线,
∴ 解得 ∴双曲线C的方程为
(2)解法一:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零,
设l的方程:
则
∵
∴
∴
∵A(x1, y1)在双曲线C上, ∴
∴
∴
同理有:
若16-k2=0,则直线l过顶点,不合题意。
∴16-k2≠0, ∴是二次方程 的两根
∴ ∴k2=4,此时△>0, ∴k=±2
∴所求Q的坐标为(±2,0)
解法二:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零。
设l的方程:
∵ ∴Q分的比为。由定比分点坐标式得:
下同解法一
解法三:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零。
设l的方程:
∵ ∴
∴
∴ 即
将
∵,否则l与渐近线平行
∴
∴ ∴
解法四:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零,
设l的方程:
∵ ∴
∴
同理
即
又由 消去y,得
当3-k2=0时,则直线l与双曲线的渐近线平行,不合题意,
由韦达定理有:
代入(*)式得k2=4,k=±2
∴所求Q的点的坐标为(±2,0)
知识点:圆锥曲线与方程
题型:计算题
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