如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画圆，P是⊙O上一动点且在第一象限内，过点P作⊙O的切线...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画圆，P是⊙O上一动点且在第一象限内，过点P作⊙O的切线，与x、y轴分别交于点A、B．

（1）求*：△OBP与△OPA相似；

（2）当点P为AB中点时，求出P点坐标；

（3）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，试求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）*：

∵AB是过点P的切线，

∴AB⊥OP，∴∠OPB=∠OPA=90°；（1分）

∴在Rt△OPB中，∠1+∠3=90°，

又∵∠BOA=90°∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3；（1分）

在△OPB中△APO中，

∴△OPB∽△APO．（2分）

（2）∵OP⊥AB，且PA=PB，

∴OA=OB，

∴△AOB是等腰三角形，

∴OP是∠AOB的平分线，

∴点P到x、y轴的距离相等；（1分）

又∵点P在第一象限，

∴设点P（x，x）（x＞0），

∵圆的半径为2，

∴OP=，解得x=或x=﹣（舍去），（2分）

∴P点坐标是（，）．（1分）

（3）存在；

①如图设OAPQ为平行四边形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；

∵AB⊥OP，∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，

∴∠POQ=90°，[来源:学|科|网Z|X|X|K]

∵OP=OQ，

∴△POQ是等腰直角三角形，

∴OB是∠POQ的平分线且是边PQ上的中垂线，

∴∠BOQ=∠BOP=45°，

∴∠AOP=45°，

设P（x，x）、Q（﹣x，x）（x＞0），（2分）

∵OP=2代入得，解得x=，

∴Q点坐标是（﹣，）；（1分）

②如图示OPAQ为平行四边形，

同理可得Q点坐标是（，﹣）．（1分）

知识点：相似三角形

题型：解答题