已知为定义域为的偶函数,当时,,若关于的方程()有且仅有6个不同的实数根,则实数的取值范围是
问题详情:
已知为定义域为的偶函数,当时,,若关于的方程()有且仅有6个不同的实数根,则实数的取值范围是______.
【回答】
【解析】
根据函数的奇偶*作出函数的图象,利用换元法判断函数的根的个数,利用数形结合即可得出结论.
【详解】作出函数的图象如图:
则在和上递增,在和上递减,
当时,函数取得极大值;
当时,取得极小值,
关于的方程()有且仅有6个不同的实数根,设,则当,方程有个根,
当,方程有个根,
当或,方程有2个根,
当,方程有4个根,
当,方程有0个根.
则必有两个根、,
则有两种情况符合题意:
①,且,
此时,
则;
②,,
此时同理可得,
综上可得a的范围是,
故*为:.
【点睛】本题主要考查函数与方程,考查函数的表示法以及一次函数和二次函数,考查数形结合思想,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.
知识点:*与函数的概念
题型:解答题
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