(1)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),求*:f(x)为奇...

问题详情：

(1)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),求*:f(x)为奇函数;

(2)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),求*:f(x)是偶函数;

(3)设函数f(x)定义在(-l,l)内,求*:f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.

【回答】

*(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.

设a=0,则f(b)=f(0)+f(b),故f(0)=0.

设a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x),

即f(-x)=-f(x).因此,f(x)是奇函数.

(2)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.

设x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).        ①

设x1=x,x2=0,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).         ②

由①②,得f(-x)=f(x).

故f(x)是偶函数.

(3)由于对任意的x∈(-l,l),也必有-x∈(-l,l),

可见,f(-x)的定义域也是(-l,l).

若设F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x),

则F(x)与G(x)的定义域也是(-l,l),显然是关于原点对称的区间.

∵F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(x),

∴F(x)是偶函数,G(x)是奇函数,

即f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.

知识点：*与函数的概念

题型：解答题