V已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，研究f（...

问题详情：

V已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．

（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调*与极值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求*：f（x）＞g（x）+；

（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【回答】

【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调*，从而可得函数f（x）的极小值；

（Ⅱ）f（x）在（0，e]上的最小值为1，令h（x）=g（x））+，求导函数，确定函数的单调*与最大值，即可*得结论；

（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，求导函数，分类讨论，确定函数的单调*，利用f（x）的最小值是3，即可求解．

【解答】（Ⅰ）解：f（x）=x﹣lnx，f′（x）= …

∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减

当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增   …

∴f（x）的极小值为f（1）=1                   …

（Ⅱ）*：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1，

∴f（x）＞0，f（x）min=1…

令h（x）=g（x））+=+，，…

当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增  …

∴h（x）max=h（e）=＜=1=|f（x）|min     …

∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；…

（Ⅲ）解：假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，f′（x）=

①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此时f（x）无最小值．…

②当0＜＜e时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，f（x）min=f（）=1+lna=3，∴a=e2，满足条件．…

③当时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），

所以，此时f（x）无最小值．…

综上，存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．…

知识点：导数及其应用

题型：解答题