如图,已知一次函数y=kx+3的图形经过点A(1,m),与x轴、y轴分别相交于B、C两点,且∠ABO=45°,...
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如图,已知一次函数y=kx+3的图形经过点A (1, m),与x轴、y轴分别相交于B、C两点,且∠ABO=45°,设点D的坐标为(3,0)
(1) 求m的值;
(2) 联结CD、AD,求△ACD的面积;
(3) 设点E为x轴上一动点,当∠ADC=∠ECD时,求点E的坐标.
【回答】
(1)m=4;(2);(3)点E的坐标为(,0)或(6,0).
【解析】
【分析】
(1)求出点B坐标,利用待定系数法求出直线BC的解析式即可解决问题;
(2)根据进行计算即可;
(3)分点E在点D左侧和点E在点D右侧两种情况,分别求出直线CE1和直线CE2的解析式即可得到对应的点E的坐标.
【详解】
解:(1)∵一次函数y=kx+3的图象与x轴、y轴分别相交于B、C两点,∠ABO=45°,
∴OB=OC=3,
∴B(-3,0),
将B(-3,0)代入y=kx+3得:0=-3k+3,
解得:k=1,
∴直线BC的解析式为:y=x+3,
当x=1时,y=x+3=4,
∴m=4;
(2)∵B(-3,0),C(0,3),D(3,0),A(1,4),
∴BD=6,
∴;
(3)如图所示,当点E在点D左侧时,
∵∠ADC=∠E1CD,
∴AD∥CE1,
设直线AD的解析式为:y=k1x+b(k≠0),
代入A(1,4),D(3,0)得:,解得:,
∴直线AD的解析式为:,
故设直线CE1的解析式为:,
代入C(0,3)得:,
∴直线CE1的解析式为:,
当y=0时,解得:,
∴E1(,0);
当点E在点D右侧时,AD与CE2交于点F,
∵∠ADC=∠E2CD,
∴FC=FD,
∵OB=OD=3,∠ABO=45°,
∴∠CDB=45°,
∴∠ACD=45°+45°=90°,即∠ACF+∠FCD=90°,
∵∠CAF+∠FDC=90°,
∴∠ACF=∠CAF,
∴FC=FA,
∴F为线段AD的中点,
∴点F的坐标为,
设直线CE2的解析式为:,
代入F得:,解得:,
∴直线CE2的解析式为:,
当y=0时,解得:,
∴E2(6,0),
综上所述,点E的坐标为(,0)或(6,0).
【点睛】
本题是一次函数与几何综合题,考查了待定系数法求函数解析式,一次函数的图象和*质,等腰直角三角形的*质,三角形面积计算以及等腰三角形的判定和*质等知识,熟练掌握待定系数法,灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键.
知识点:一次函数
题型:解答题
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