如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点.分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后...

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如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求*：DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角（0°< <360°）得到正方形，如图2．

①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；（注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度）

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由．

                                       图1                  图2

【回答】

（1）如图1，延长ED交AG于点H.

∵O为正方形ABCD对角线的交点.∴OA=OD，OA⊥OD.

∵OG=OE，∴Rt△AOG≌Rt△DOE，∴∠AGO=∠DEO.

∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠DEO+∠GAO=90°，∴∠AHE=90°，即DE⊥AG. （4分）

（2）①在旋转过程中，∠成为直角有以下两种情况：

（ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠为直角时，

∵，∴在Rt△中，，

∴∠.∵OA⊥OD，∴∠DOG′=90°－∠=30°，即α=30°.（6分）

（2）α由90°增大到180°过程中，当∠为直角时，

同理可求的∠AOG′=30°，所以α=90°+∠=150°.综上，当∠为直角时，α=30°或150°. （8分）

②AF′长的最大值是，此时α=315°.理由：当AF′长的最大时，点F′在直线AC上，如图所示：

∵AB=BC=CD=AD=1，∴AC=BD=，AO=OD=．

∴OE′=E′F′=2OD=．∴OF′=．∴AF′=AO+OF′=．

∵∠E′OF′=45°∴旋转角α=360°-45°=315°．（12分）

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题