若二次函数的图像与轴有两个交点，且经过点过点的直线与轴交于点与该函数的图像交于点（异于点）．满足是等腰直角三角...

问题详情：

若二次函数的图像与轴有两个交点，且经过点过点的直线与轴交于点与该函数的图像交于点（异于点）．满足是等腰直角三角形，记的面积为的面积为，且．

（1）抛物线的开口方向              （填“上”或“下”）；

（2）求直线相应的函数表达式；

（3）求该二次函数的表达式．

【回答】

（1）上；（2）；（3）

【解析】

(1)由抛物线经过点M、N、A点即可确定开口向上；

(2)根据是等腰直角三角形分三种情况讨论，只能是，此时，由此算出C点坐标，进而求解；

(3)过B点作BH⊥x轴，由得到，由OA的长求出BH的长，再将B点纵坐标代入直线l中求出B点坐标，最后将A、B、N三点坐标代入二次函数解析式中求解即可．

【详解】

解：(1)∵抛物线经过点M、N、A，且M、N点在x轴正半轴上，A点在y轴正半轴上，

∴抛物线开口向上，

故*为：上．

(2)①若，

则与重合，直线与二次函数图像交于点

∵直线与该函数的图像交于点（异于点）

∴不合符题意，舍去；

②若，则在轴下方，

∵点在轴上，

∴不合符题意，舍去；

③若

则

设直线

将代入：

，解得

直线．

故*为：．

(3)过点作轴，垂足为，

，

又，

，

又，

，

即点纵坐标为，

又(2)中直线l经过B点，

将代入中，得，

，

将三点坐标代入中，得

，

解得，

抛物线解析式为．

故*为：．

【点睛】

本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数和一次函数的交点坐标，等腰直角三角形分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图形及*质是解决此类题的关键．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题