如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C,且A(4,0)...
问题详情:
如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C,且A(4,0),C(0,﹣3),对称轴是直线x=1.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若M是第四象限抛物线上一动点,且横坐标为m,设四边形OCMA的面积为s.请写出s与m之间的函数关系式,并求出当m为何值时,四边形OCMA的面积最大;
(3)设点B是x轴上的点,P是抛物线上的点,是否存在点P,使得以A,B、C,P四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)利用抛物线的对称*可得到点D的总表,然后将A、C、D的坐标代入抛物线的解析式可求得a、b、c的值,从而可得到二次函数的解析式;
(2)设M(m, x2﹣x﹣3),|yM|=﹣m2+m+3,由S=S△ACM+S△OAM可得到S与m的函数关系式,然后利用*法可求得S的最大值;
(3)当AB为平行四边形的边时,则AB∥PC,则点P的纵坐标为﹣3,将y=﹣3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标;当AB为对角线时,AB与CP互相平分,则点P的纵坐标为3,把y=3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标.
【解答】解:(1)∵A(4,0),对称轴是直线x=l,
∴D(﹣2,0).
又∵C(0,﹣3)
∴
解得.a=,b=﹣,c=﹣3,
∴二次函数解析式为:y=x2﹣x﹣3.
(2)如图1所示:
设M(m, x2﹣x﹣3),|yM|=﹣m2+m+3,
∵S=S△ACM+S△OAM
∴S=×OC×m+×OA×|yM|=×3×m+×4×(﹣m2+m+3)=﹣m2+3m+6=﹣(m﹣2)2+9,
当m=2时,s最大是9.
(3)当AB为平行四边形的边时,则AB∥PC,
∴PC∥x轴.
∴点P的纵坐标为﹣3.
将y=﹣3代入得: x2﹣x﹣3=﹣3,解得:x=0或x=2.
∴点P的坐标为(2,﹣3).
当AB为对角线时.
∵ABCP为平行四边形,
∴AB与CP互相平分,
∴点P的纵坐标为3.
把y=3代入得: x2﹣x﹣3=3,整理得:x2﹣2x﹣16=0,解得:x=1+或x=1﹣.
综上所述,存在点P(2,﹣3)或P(1+,3)或P(1﹣,3)使得以A,B、C,P四点为顶点的四边形为平行四边形.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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