为建设美丽乡村，*欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中...

问题详情：

为建设美丽乡村，*欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休

闲园，园区内有一景观湖EFG（图中*影部分）．以AB所在直线为x 轴，AB的垂直

平分线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数

模型．园区服务中心P在x 轴正半轴上，PO=百米．

（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的

最短长度；

（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道PQ最短．

【回答】

解：（1）（方法一）设，，

    则 ，                                   

当且仅当，即时取等号．

所以的最小值为百米．                  

（方法二）设直线（其中斜率一定存在），代入，

得，化简为．

设则，（）                              

所以，

令，则，

当且仅当等号成立，即时成立．

综上，的最短长度为百米．                     

（2）当直线与边界曲线相切时，最短．    

设切点为，由得，

所以切线的方程为．                

因为在轴正半轴上，且PO=，所以点坐标为．

因为切线过点，所以，     

整理得，解得，或．             

因为，所以，此时切点为，切线方程为．

令，得，即点在线段上且距离轴百米．

答：当点在线段上且距离轴百米，通道PQ最短．   

知识点：函数的应用

题型：解答题