如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠BAD=60°.动点E、F分别从点B、D同时出发,以1cm/s的速度向...
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如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠BAD=60°.动点E、F分别从点B、D同时出发,以1cm/s的速度向点A、C运动,连接AF、CE,取AF、CE的中点G、H,连接GE、FH.设运动的时间为ts(0<t<4).
(1)求*:AF∥CE;
(2)当t为何值时,四边形EHFG为菱形;
(3)试探究:是否存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由.
【回答】
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)根据菱形的*质得到∠B=∠D,AD=BC,AB∥DC,推出△ADF≌△CBE,根据全等三角形的*质得到∠DFA=∠BEC,根据平行线的判定定理即可得到结论;
(2)过D作DM⊥AB于M,连接GH,EF,推出四边形AECF是平行四边形,根据菱形的判定定理即可得到四边形EGFH是菱形,*得四边形DMEF是矩形,于是得到ME=DF=t列方程即可得到结论;
(3)不存在,假设存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,根据矩形的*质列方程即可得到结果.
【解答】(1)*:
∵动点E、F同时运动且速度相等,
∴DF=BE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AD=BC,AB∥DC,
在△ADF与△CBE中,,
∴△ADF≌△CBE,
∴∠DFA=∠BEC,
∵AB∥DC,
∴∠DFA=∠FAB,
∴∠FAB=∠BEC,
∴AF∥CE;
(2)过D作DM⊥AB于M,连接GH,EF,
∴DF=BE=t,
∵AF∥CE,AB∥CD,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵G、H是AF、CE的中点,
∴GH∥AB,
∵四边形EGFH是菱形,
∴GH⊥EF,
∴EF⊥AB,∠FEM=90°,
∵DM⊥AB,
∴DM∥EF,
∴四边形DMEF是矩形,
∴ME=DF=t,
∵AD=4,∠DAB=60°,DM⊥AB,
∴AM=AD=2,
∴BE=4﹣2﹣t=t,
∴t=1,
(3)不存在,假设存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,
∵四边形EHFG为矩形,
∴EF=GH,
∴EF2=GH2,
即(2﹣2t)2+(2)2=(4﹣t)2,
解得t=0,0<t<4,
∴与原题设矛盾,
∴不存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题
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