如图1，以边长为8的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，交对角线AC于点E．（1）线段AE=　     ；...

问题详情：

如图1，以边长为8的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，交对角线AC于点E．

（1）线段AE=　      ；

（2）如图2，以点A为端点作∠DAM=30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），旋转过程中AD与⊙O交于点F．

①当α=30°时，请求出线段AF的长；

②当α=60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由；

③当α=　        　°时，DM与⊙O相切．

【回答】

（1）4；（2）①4，②相离，见解析，③90

【分析】

（1）连接BE，则可得出△AEB是等腰直角三角形，再由AB=8，可得出AE的长．

（2）①连接OA、OF，可判断出△OAF是等边三角形，从而可求出AF的长；②此时可得DAM=30°，根据AD=8可求出AF的长，也可判断DM与⊙O的位置关系；③根据AD等于⊙O的直径，可得出当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，从而可得出α的度数．

【详解】

解：（1）连接BE，

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠BAC=45°，

∴△AEB是等腰直角三角形，

又∵AB=8，

∴AE=4；

（2）连接OA、OF，

①

由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，

故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，

则∠OAF=60°，

又∵OA=OF，

∴△OAF是等边三角形，

∵OA=4，

∴AF=OA=4；

②

连接B'F，此时∠NAD=60°，

∵AB'=8，∠DAM=30°，

∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；

此时DM与⊙O的位置关系是相离；

③

∵AD=8，直径的长度相等，

∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，

故此时可得α=∠NAD=90°．

【点睛】

本题是一道圆的综合题目，涉及到的知识点有，正方形的*质、等边三角形的判定及其*质、特殊角的三角函数值、圆与直线的位置关系等，掌握以上各知识点并能综合利用是解此题的关键．

知识点：等腰三角形

题型：解答题