如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.(1)*...
问题详情:
如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.
(1)*与推断:
①求*:四边形CEGF是正方形;
②推断:的值为 :
(2)探究与*:
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由:
(3)拓展与运用:
正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2,则BC= .
【回答】
(1)①四边形CEGF是正方形;②;(2)线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE;(3)3
【解析】
(1)①由、结合可得四边形CEGF是矩形,再由即可得*;
②由正方形*质知、,据此可得、,利用平行线分线段成比例定理可得;
(2)连接CG,只需*∽即可得;
(3)*∽得,设,知,由得、、,由可得a的值.
【详解】
(1)①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,∠BCA=45°,
∵GE⊥BC、GF⊥CD,
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,
∴四边形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG=45°,
∴EG=EC,
∴四边形CEGF是正方形;
②由①知四边形CEGF是正方形,
∴∠CEG=∠B=90°,∠ECG=45°,
∴,GE∥AB,
∴,
故*为;
(2)连接CG,
由旋转*质知∠BCE=∠ACG=α,
在Rt△CEG和Rt△CBA中,
=、=,
∴=,
∴△ACG∽△BCE,
∴,
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE;
(3)∵∠CEF=45°,点B、E、F三点共线,
∴∠BEC=135°,
∵△ACG∽△BCE,
∴∠AGC=∠BEC=135°,
∴∠AGH=∠CAH=45°,
∵∠CHA=∠AHG,
∴△AHG∽△CHA,
∴,
设BC=CD=AD=a,则AC=a,
则由得,
∴AH=a,
则DH=AD﹣AH=a,CH==a,
∴由得,
解得:a=3,即BC=3,
故*为3.
【点睛】
本题考查了正方形的*质与判定,相似三角形的判定与*质等,综合*较强,有一定的难度,正确添加辅助线,熟练掌握正方形的判定与*质、相似三角形的判定与*质是解题的关键.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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