图,在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO =3,将此三角形绕原点O逆...
问题详情:
图,在平面直角坐标系中有一直角三角形 AOB,O 为坐标原点,OA=1,tan∠BAO
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 若点 P 是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为 t,设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E,连接 PE,交 CD 于 F,求以 C、E、F 为顶点三角形与△COD 相似时点 P 的坐标.
【回答】
解:(1)在 Rt△AOB 中,OA=1,tan∠BAO==3,
∴OB=3OA=3
∵△DOC 是由△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°而得到的,
∴△DOC≌△AOB,
∴OC=OB=3,OD=OA=1.
∴A,B,C 的坐标分别为(1,0),(0,3),(﹣3,0),代入解析式为
,
抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3,
∴对称轴为 l=﹣ =﹣1,
∴E 点坐标为(﹣1,0),如图,
①当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD,
此时点 P 在对称轴上,即点 P 为抛物线的顶点,P(﹣1,4);
②当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点 P 作 PM⊥x 轴于 M 点,△EFC∽△EMP,
∴ = = =
∴MP=3ME,
∵点 P 的横坐标为 t,
∴P(t,﹣t2﹣2t+3),
∵P 在第二象限,
∴PM=﹣t2﹣2t+3,ME=﹣1﹣t,
∴﹣t2﹣2t+3=3(﹣1﹣t),
解得 t1=﹣2,t2=3,(与 P 在二象限,横坐标小于 0 矛盾,舍去),当 t=﹣2 时,y=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3
∴P(﹣2,3),
知识点:相似三角形
题型:解答题
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