在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示.(1)如图①,在△ABC中,∠A=2∠B,且∠A=...
问题详情:
在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示.
(1)如图①,在△ABC中,∠A=2∠B,且∠A=60°.求*:a2=b(b+c)
(2)如图②,在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的2倍,且c=7,b=8,求a的长.
(3)若一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们则称这样的三角形为“倍角三角形”.问题(1)中的三角形是一个特殊的倍角三角形,那么对于任意的倍角△ABC,如图③,∠A=2∠B,关系式a2=b(b+c)是否仍然成立?并*你的结论.
【回答】
【解析】(1)*:∵∠A=2∠B=60°,
∴∠B=30°,
则∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°,
∴△ACB为直角三角形,
在Rt△ACB中a=c,b=c,
所以a2=(c)2=,b(b+c)=c(c+c)=,
所以a2=b(b+c);
(2)如图1,延长CA至点D,使AD=AB,连接BD,
则∠D=∠ABD=∠CAB=∠C,
∴△CBD∽△DAB,
∴,
∴BD2=AB•CD=7×(8+7)=105,
∴BD=,
又∠C=∠D,
∴a=BC=BD=
(3)对于任意的倍角△ABC,∠A=2∠B,关系式a2=b(b+c)仍然成立,
如图2,延长BA至D,使AD=AC=b,连结CD,
则∠CAB=2∠D,
∴∠B=∠D,BC=CD=a,
∴△ADC∽△CDB
∴,
即.
所以a2=b(b+c).
知识点:勾股定理
题型:解答题
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