在等腰中，，点D，E在*线上，，过点E作，交*线于点F．请解答下列问题： （1）当点E在线段上，是的角平分线时...

问题详情：

在等腰中，，点D，E在*线上，，过点E作，交*线于点F．请解答下列问题：

（1）当点E在线段上，是的角平分线时，如图①，求*：；（提示：延长，交于点M．）

（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要*；

（3）在（1）、（2）的条件下，若，则___________．

【回答】

（1）见解析；（2）BC=AE+CF或AE=CF+BC；（3）18或6．

【解析】（1）延长，交于点M．利用AAS*，得到ME=BC，并利用角平分线加平行的模型*CF=MF，AE=EF，从而得*；

（2）延长，EF交于点M．类似于（1）的方法可*当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC；

（3）先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出*．

【详解】（1）如图①，延长，交于点M．

∵，

∴∠A=∠BCA=∠EFA，

∴AE=EF

∴

∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD

又∵∠FCM=∠BCM，

∴∠M=∠FCM

∴CF=MF

又∵BD=DE

∴

∴ME=BC

∴CF=MF=ME+EF=BC+AE

即AE+BC=CF；

（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，

如图②，延长，EF交于点M．

由①同理可*，

∴ME=BC

由①*过程同理可得出MF=CF，AE=EF，

∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；

当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC.

如图③，延长交EF于点M，

由上述*过程易得，BC=EM，

CF=FM，

又∵AB=BC，

∴∠ACB=∠CAB=∠FAE

∵

∴∠F=∠FCB，

∴EF=AE，

∴AE=FE=FM+ME=CF+BC

（3）CF=18或6

当DE=2AE=6时，图①中，由（1）得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15，

∴CF=AE+BC=3+15=18；

图②中，由（2）得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9，

∴CF=BC-AE=9-3=6；

图③中，DE小于AE，故不存在．

故*为18或6．

【点睛】本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．

知识点：三角形全等的判定

题型：解答题