如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，...

问题详情：

如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论：

①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=AD⑤S△APO=，正确的个数是（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

【回答】

C分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的*质和等腰三角形的*质得：∠ACE=30°，最后由平行线的*质可作判断；

②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC==和OD的长，可得BD的长；

③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；

④根据三角形中位线定理可作判断；

⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=OE•OC=，=，代入可得结论．

【解答】解：①∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE=1，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=BE=1，

∵BC=2，

∴EC=1，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ACE，

∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，

∴∠ACE=30°，

∵AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACE=30°，

故①正确；

②∵BE=EC，OA=OC，

∴OE=AB=，OE∥AB，

∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，

Rt△EOC中，OC==，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BCD=∠BAD=120°，

∴∠ACB=30°，

∴∠ACD=90°，

Rt△OCD中，OD==，

∴BD=2OD=，

故②正确；

③由②知：∠BAC=90°，

∴S▱ABCD=AB•AC，

故③正确；

④由②知：OE是△ABC的中位线，

∴OE=AB，

故④不正确；

⑤∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC=，

∴S△AOE=S△EOC=OE•OC==，

∵OE∥AB，

∴，

∴=，

∴S△AOP===；

故⑤正确；

本题正确的有：①②③⑤，4个，

故选：C．

【点评】本题考查了平行四边形的*质、等腰三角形的*质、直角三角形30度角的*质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的*质，*△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．

知识点：各地中考

题型：选择题