如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE=30°；②C...

问题详情：

如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE=30°；②CE2=AB•CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF．其中正确的有(     )

A．1个  B．2个   C．3个  D．4个

【回答】

B【考点】相似三角形的判定与*质；正方形的*质．

【分析】由正方形的*质和三角函数得出∠BAE＜30°，①不正确；由题中条件可得△CEF∽△BAE，进而得出对应线段成比例，得出②正确，CF=FD，③不正确；进而又可得出△ABE∽△AEF，得出④正确，即可得出题中结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CAD，∠B=∠C=∠D=90°，

∵E是BC的中点，

∴BE=CE=BC=AB，

∵AE＞AB，

∴sin∠BAE=＜，

∴∠BAE＜30°，①不正确；

∵AE⊥EF，∴∠BAE=∠CEF，

∴△CEF∽△BAE，

∴==，

∴CE•BE=AB•CF，CF=BE=CD，

∵BE=CE，CF=FD，

∴CE2=AB•CF，②正确，③不正确；

由△CEF∽△BAE可得，

∴∠EAF=∠BAE的正切值相同，

∴∠EAF=∠BAE，

又∠B=∠C=90°．

∴△ABE∽△AEF，

∴④正确；

正确的有2个，

故选：B．

【点评】本题主要考查了正方形的*质、相似三角形的判定及*质、三角函数；熟练掌握正方形的*质，*三角形相似是解决问题的关键．

知识点：相似三角形

题型：选择题