已知数列满足,且.Ⅰ使用数学归纳法*:;Ⅱ*:;Ⅲ设数列的前n项和为,*:.
问题详情:
已知数列满足,且.
Ⅰ使用数学归纳法*:;
Ⅱ*:;
Ⅲ设数列的前n项和为,*:.
【回答】
(I)详见解析;(II)详见解析;(III)详见解析.
【解析】
Ⅰ利用数学归纳法,分别讨论当时和当时的情况;
Ⅱ,由Ⅰ知,故;
Ⅲ因为,所以,由可得,进而可表示出,利用裂项相消法即可求出,从而*得.
【详解】
解:Ⅰ当时,,故当时命题成立;
假设时命题成立,即,
当时,注意在单调递增,
所以,
故,故当时命题成立.
因此对任意的,有;
Ⅱ由,
由Ⅰ知,
故.
Ⅲ因为,所以
因为,
所以,
故有,
.
综上所述,.
【点睛】
本题考查了数学归纳法的运用,考查了数列求和的方法,属于中档题.
知识点:数列
题型:解答题
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