如图1,点P,Q分别是等边△ABC边AB,BC上的动点(端点除外),点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发,且它们...
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如图1,点P,Q分别是等边△ABC边AB,BC上的动点(端点除外),点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发,且它们的运动速度相同,连接AQ,CP交于点M.
(1)求*:△ABQ△CAP;
(2)如图1,当点P,Q分别在AB,BC边上运动时,∠QMC变化吗?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
(3)如图2,若点P,Q在分别运动到点B和点C后,继续在*线AB,BC上运动,直线AQ,CP交点为M,则∠QMC= 度.(直接填写度数)
【回答】
(1)见解析;(2)点P、Q在AB、BC边上运动的过程中,∠QMC不变,∠QMC=60°,理由见解析;(3)120.
【分析】
(1)根据等边三角形的*质,利用SAS*△ABQ≌△CAP即可;
(2)由(1)可知△ABQ≌△CAP,所以∠BAQ=∠ACP,再根据三角形外角*质可求出∠QMC;
(3)先*△ABQ≌△CAP,根据全等三角形的*质可得∠BAQ=∠ACP,再根据三角形外角*质可求出∠QMC;
【详解】
(1)*:如图1,∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP=60∘,AB=CA,
又∵点P、Q运动速度相同,
∴AP=BQ,
在△ABQ与△CAP中,
∴△ABQ≌△CAP(SAS);
(2)点P、Q在AB、BC边上运动的过程中,∠QMC不变,∠QMC=60°.
理由:∵△ABQ≌△CAP,
∴∠BAQ=∠ACP,
∵∠QMC是△ACM的外角,
∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC
∵∠BAC=60°,
∴∠QMC=60°;
(3) 如图2,∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP=60∘,AB=CA,
又∵点P、Q运动速度相同,
∴AP=BQ,
在△ABQ与△CAP中,
∴△ABQ≌△CAP(SAS);
∴∠BAQ=∠ACP,
∵∠QMC是△APM的外角,
∴∠QMC=∠BAQ+∠APM,
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠PAC=180°−60°=120°,
故*为120.
【点睛】
本题考查全等三角形的动点问题,熟练掌握等边三角形的*质得到全等三角形,并由三角形外角*质进行角度转换是解决本题的关键.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题
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