如图,把某矩形纸片沿,折叠(点E、H在边上,点F,G在边上),使点B和点C落在边上同一点P处,A点的对称点为、...
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如图,把某矩形纸片沿,折叠(点E、H在边上,点F,G在边上),使点B和点C落在边上同一点P处,A点的对称点为、D点的对称点为,若,为8,的面积为2,则矩形的长为( )
A. B. C. D.
【回答】
D
【解析】
设AB=CD=x,由翻折可知:PA′=AB=x,PD′=CD=x,因为△A′EP的面积为4,△D′PH的面积为1,推出D′H=x,由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H,可解得x=2,分别求出PE和PH,从而得出AD的长.
【详解】
解:∵四边形ABC是矩形, ∴AB=CD,AD=BC,
设AB=CD=x, 由翻折可知:PA′=AB=x,PD′=CD=x, ∵△A′EP的面积为8,△D′PH的面积为2, 又∵,∠A′PF=∠D′PG=90°,
∴∠A′P D′=90°,则∠A′PE+∠D′PH=90°,
∴∠A′PE=∠D′HP,
∴△A′EP∽△D′PH, ∴A′P2:D′H2=8:2,
∴A′P:D′H=2:1,
∵A′P=x, ∴D′H=x,
∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H,即,
∴x=2(负根舍弃), ∴AB=CD=2,D′H=DH=,D′P=A′P=CD=2,A′E=2D′P=4,
∴PE=,PH=,
∴AD==,
故选D.
【点睛】
本题考查翻折变换,矩形的*质,勾股定理,相似三角形的判定和*质等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考填空题中的压轴题.
知识点:相似三角形
题型:选择题
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