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定义:将一个大于0的自然数,去掉其个位数字,再把剩下的数加上原数个位数字的4倍,如果得到的和能被13整除,则称这个数是“一*两断”数,如果和太大无法直接观察出来,就再次重复这个过程继续计算.
例如55263→5526+12=5538,5538→553+32=585,585→58+20=78,78÷13=6,所以55263是“一*两断”数.3247→324+28=352,35+8=43,43÷13=3…4,所以3247不是“一*两断”数.
(1)判断5928是否为“一*两断”数: (填是或否),并*任意一个能被13整除的数是“一*两断”数;
(2)对于一个“一*两断”数m=1000a+100b+10c+d(1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9,0≤d≤9,a,b,c,d均为正整数),规定G(m)=||,若m的千位数满足1≤a≤4,千位数字与十位数字相同,且能被65整除,求出所有满足条件的四位数m中,G(m)的最大值.
【回答】
【解答】(1)∵5928→592+32=624,624→62+16=78,78÷13=6,
∴5928是“一*两断”数,
故*为:是;
*:设任意一个能被13整除的n位数前n﹣1位数字为P,个位数字为Q,则这个n位数可表示为10P+Q=13k(k为正整数),
∴Q=13k﹣10P,
∴10P+Q→P+4Q=P+4(13k﹣10P)=52k﹣39P=13(4k﹣3P),
∴10P+Q是“一*两断“数.
∴任意一个能被13整除的数是“一*两断”数;
(2)∵m=1000a+100b+10c+d,m能被65整除,
∴m既能能被13整除又能被5整除,
∴d=0或d=5,
当d=0时,,
∴a+b是13的倍数,
∵1≤a≤9,0≤b≤9,
∴a+b=13,
∵1≤a≤4,
∴a=4,b=13,
∴m=4940,
当d=5时,,
∴a+b+2是13的倍数,
∵1≤a≤9,0≤b≤9,
∴a+b+2=13,
∴a+b=11,
∵1≤a≤4,
∴a=2,b=9或a=3,b=8或a=4,b=7.
∴m=2925或3835或4745
∴G(4940)=,G(4745)=45,G(3835)=,G(2925)=,
∴G(m)的最大值为45.
知识点:因式分解
题型:解答题
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