如图1,已知直线y=2x分别与双曲线y=、y=(x>0)交于P、Q两点,且OP=2OQ. ...
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如图1,已知直线y=2x分别与双曲线y=、y=(x>0)交于P、Q两点,且OP=2OQ.
(1)求k的值.
(2)如图2,若点A是双曲线y=上的动点,AB∥x轴,AC∥y轴,分别交双曲线y=(x>0)于点B、C,连接BC.请你探索在点A运动过程中,△ABC的面积是否变化?若不变,请求出△ABC的面积;若改变,请说明理由;
(3)如图3,若点D是直线y=2x上的一点,请你进一步探索在点A运动过程中,以点A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出此时点A的坐标;若不能,请说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)过点Q作QE⊥x轴,垂足为E,过点P作PF⊥x轴,垂足为F,如图1,
联立,
解得:或.
∵x>0,
∴点P的坐标为(2,4).
∴OF=2,PF=4.
∵QE⊥x轴,PF⊥x轴,
∴QE∥PF.
∴△OEQ∽△OFP.
∴==.
∵OP=2OQ,
∴OF=2OE=2,PF=2EQ=4.
∴OE=1,EQ=2.
∴点Q的坐标为(1,2).
∵点Q(1,2)在双曲线y=上,
∴k=1×2=2.
∴k的值为2.
(2)如图2,
设点A的坐标为(a,b),
∵点A(a,b)在双曲线y=上,
∴b=.
∵.AB∥x轴,AC∥y轴,
∴xC=xA=a,yB=yA=b=.
∵点B、C在双曲线y=上,
∴xB==,yC=.
∴点B的坐标为(,),点C的坐标为(a,).
∴AB=a﹣=,AC=﹣=.
∴S△ABC=ABAC
=××
=.
∴在点A运动过程中,△ABC的面积不变,始终等于.
(3)①AC为平行四边形的一边,
Ⅰ.当点B在点Q的右边时,如图3,
∵四边形ACBD是平行四边形,
∴AC∥BD,AC=BD.
∴xD=xB=.
∴yD=2xD=.
∴DB=﹣.
∵AC=﹣=,
∴=﹣.
解得:a=±2.
经检验:a=±2是该方程的解.
∵a>0,
∴a=2.
∴b==.
∴点A的坐标为(2,).
Ⅱ.当点B在点Q的左边且点C在点Q的右边时,如图4,
∵四边形ACDB是平行四边形,
∴AC∥BD,AC=BD.
∴xD=xB=.
∴yD=2xD=.
∴DB=﹣.
∵AC=,
∴=﹣,
解得:a=±2.
经检验:a=±2是该方程的解.
∵a>0,
∴a=2.
∴b==4.
∴点A的坐标为(2,4).
②AC为平行四边形的对角线,
此时点B、点C都在点Q的左边,如图5,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴yD=yC=.
∴xD==.
∴CD=﹣a.
∵AB=a﹣=,
∴=﹣a.
解得:a=±.
经检验:a=±是该方程的解.
∵a>0,
∴a=.
∴b==4.
∴点A的坐标为(,4).
综上所述:当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时,此时点A的坐标为(2,)或(2,4)或(,4).
知识点:反比例函数
题型:综合题
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