图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，...

问题详情：

图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　   　；

（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数．

（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．

【回答】

解（1）∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，① ∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB， ①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P=∠D+∠B， 又∵∠D=50度，∠B=40度， ∴2∠P=50°+40°， ∴∠P=45°；    

（3）关系：2∠P=∠D+∠B．    由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4① 由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2，②  ①+②得： ∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1， ∠D+2∠B=2∠P+∠B， 即2∠P=∠D+∠B．

知识点：多边形及其内角相和

题型：解答题