已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0（1）求*：f...

问题详情：

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0

（1）求*：f（x）是奇函数；

（2）若，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值；

（3）是否存在m，使f（2（）2﹣4）+f（4m﹣2（））＞0对任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

【回答】

解：（1）令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），

∴f（0）=0．令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x），

∴﹣f（x）=f（﹣x），即f（x）为奇函数；

（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2

∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），

∵当x＞0时，f（x）＞0，且x1＜x2，

∴f（x2﹣x1）＞0，

即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）为增函数，

∴当x=﹣2时，函数有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．

当x=6时，函数有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3；

（3）∵函数 f（x）为奇函数，

∴不等式可化为，

又∵f（x）为增函数，∴，

令t=log2x，则0≤t≤1，

问题就转化为2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恒成立，

即4m＞﹣2t2+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，

令y=﹣2t2+2t+4，只需4m＞ymax，

而 （0≤t≤1），

∴当时，，则．

∴m的取值范围就为．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题