如图T8-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的☉...
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如图T8-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.
图T8-6
(1)求*:BC是☉O的切线;
(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;
(3)若BE=8,sinB=,求DG的长.
【回答】
[解析] (1)连接OD,根据同圆半径相等及角平分线条件得到∠DAC=∠ODA,得OD∥AC,切线得*;(2)连接EF,DF,根据直径所对圆周角为直角,*∠AFE=90°,可得EF∥BC,因此∠B=∠AEF,再利用同弧所对圆周角相等可得∠B=∠ADF,从而*△ABD∽△ADF,可得AD与AB,AF的关系;(3)根据∠AEF=∠B,利用三角函数,分别在Rt△DOB和Rt△AFE中求出半径和AF,代入(2)的结论中,求出AD,再利用两角对应相等,*△OGD∽△FGA,再利用对应边成比例,求出DG∶AG的值,即可求得DG的长.
解:(1)*:连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠DAC,
∴∠DAC=∠ODA,
∴OD∥AC,
∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC.
∵OD为☉O的半径,∴BC是☉O的切线.
(2)连接EF,DF.∵AE为☉O直径,
∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠C=90°,
∴EF∥BC,∴∠B=∠AEF.
∵∠ADF=∠AEF,∴∠B=∠ADF.
又∵∠OAD=∠DAC,∴△ABD∽△ADF,
∴=,∴AD2=AB·AF,
∴AD=.
(3)设☉O半径为r,
在Rt△DOB中,sinB==,
∴=,解得r=5,∴AE=10.
在Rt△AFE中,sin∠AEF=sinB=,
∴AF=10×=,
∴AD==.
∵∠ODA=∠DAC,∠DGO=∠AGF,
∴△OGD∽△FGA,
∴==,
∴=,
∴DG=.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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