设函数y=x2+2kx+k﹣1（k为常数），下列说法正确的是（　　）A．对任意实数k，函数与x轴都没有交点B．...

问题详情：

设函数y=x2+2kx+k﹣1（k为常数），下列说法正确的是（　　）

A．对任意实数k，函数与x轴都没有交点

B．存在实数n，满足当x≥n时，函数y的值都随x的增大而减小

C．k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条直线上

D．对任意实数k，抛物线y=x2+2kx+k﹣1都必定经过唯一定点

【回答】

D【考点】二次函数的*质．

【分析】A、计算出△，根据△的值进行判断；

B、根据二次函数的*质即可判断；

C、得到抛物线的顶点，写成方程组，消去k得y=﹣x2﹣x﹣1，即可判断；

D、令k=1和k=0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验*即可；

【解答】解：A、∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）=4k2﹣4k+4=4（k﹣）2+3＞0，

∴抛物线的与x轴都有两个交点，故A错误；

B、∵a=1＞0，抛物线的对称轴x=﹣=﹣k，

∴在对称轴的左侧函数y的值都随x的增大而减小，

即当x＜k时，函数y的值都随x的增大而减小，

当n=﹣k时，当x≥n时，函数y的值都随x的增大而增大，故B错误；

C、∵y=x2+2kx+k﹣1=（x+k）2﹣k2+k﹣1，

∴抛物线的顶点为（﹣k，﹣k2+k﹣1），

∴，

消去k得，y=﹣x2﹣x﹣1

由此可见，不论k取任何实数，抛物线的顶点都满足函数y=﹣x2﹣x﹣1，

即在二次函数y=﹣x2﹣x﹣1的图象上．故C错误；

D、令k=1和k=0，得到方程组：，解得，

将代入x2+2kx+k﹣1得，﹣k+k﹣1=﹣，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是经过一个定点（﹣，﹣），故D正确．

故选D．

【点评】本题考查了二次函数的*质，熟悉函数和函数方程的关系、函数的*质是解题的关键．

知识点：二次函数的图象和*质

题型：选择题