如图9,CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线,垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E,连接AC,BE,...
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如图9,CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线,垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E,连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F,则下列结论: ①四边形ACBE是菱形;②∠ACD=∠BAE ③AF:BE=2:3 ④ 其中正确的结论有________。(填写所有正确结论的序号)
【回答】
①②④
【考点】三角形的面积,全等三角形的判定与*质,线段垂直平分线的*质,平行四边形的*质,相似三角形的判定与*质
【解析】【解答】解:①∵CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线,∴AO=BO,∠AOE=∠BOC=90°,BC∥AE,AE=BE,CA=CB, ∴∠OAE=∠OBC, ∴△AOE≌△BOC(ASA), ∴AE=BC, ∴AE=BE=CA=CB, ∴四边形ACBE是菱形, 故①正确. ②由①四边形ACBE是菱形, ∴AB平分∠CAE, ∴∠CAO=∠BAE, 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BA∥CD, ∴∠CAO=∠ACD, ∴∠ACD=∠BAE. 故②正确. ③∵CE垂直平分线AB, ∴O为AB中点, 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BA∥CD,AO= AB= CD, ∴△AFO∽△CFD, ∴ = , ∴AF:AC=1:3, ∵AC=BE, ∴AF:BE=1:3, 故③错误. ④∵ ·CD·OC, 由③知AF:AC=1:3, ∴ , ∵ = × CD·OC= , ∴ = + = = , ∴ 故④正确. 故*为:①②④. 【分析】①根据平行四边形和垂直平分线的*质得AO=BO,∠AOE=∠BOC=90°,BC∥AE,AE=BE,CA=CB,根据ASA得△AOE≌△BOC,由全等三角形*质得AE=CB,根据四边相等的四边形是菱形得出①正确. ②由菱形*质得∠CAO=∠BAE,根据平行四边形的*质得BA∥CD,再由平行线的*质得∠CAO=∠ACD,等量代换得∠ACD=∠BAE;故②正确. ③根据平行四边形和垂直平分线的*质得BA∥CD,AO= AB= CD,从而得△AFO∽△CFD,由相似三角形*质得 = ,从而得出AF:AC=1:3,即AF:BE=1:3,故③错误. ④由三角形面积公式得 ·CD·OC,从③知AF:AC=1:3,所以= + = = ,从而得出 故④正确.
知识点:各地中考
题型:填空题
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